V a l u e a t R i s k : T h e o r y a n d P r a c t i c e , S e c o n d E d i t i o n b y G l y n A . H o l t o n S k i p t o c o n t e n t V a l u e a t R i s k T h e o r y a n d P r a c t i c e M e n u a n d w i d g e t s S e a r c h C o v e r T i t l e P a g e C o p y r i g h t A b o u t t h e A u t h o r A c k n o w l e d g e m e n t s C o n t e n t s 0 P r e f a c e 0 . 1 W h a t W e ’ r e A b o u t 0 . 2 V o l d e m o r t a n d t h e S e c o n d E d i t i o n 0 . 3 H o w T o R e a d T h i s B o o k 0 . 4 N o t a t i o n 1 V a l u e a t R i s k 1 . 1 M e a s u r e s 1 . 2 R i s k M e a s u r e s 1 . 3 M a r k e t R i s k 1 . 4 V a l u e a t R i s k 1 . 5 R i s k L i m i t s 1 . 6 O t h e r A p p l i c a t i o n s o f V a l u e a t R i s k 1 . 7 E x a m p l e s 1 . 8 V a l u e a t R i s k M e a s u r e s 1 . 9 H i s t o r y o f V a l u e a t R i s k 1 . 1 0 F u r t h e r R e a d i n g 2 M a t h e m a t i c a l P r e l i m i n a r i e s 2 . 1 M o t i v a t i o n 2 . 2 M a t h e m a t i c a l N o t a t i o n 2 . 3 G r a d i e n t & G r a d i e n t H e s s i a n A p p r o x . 2 . 4 O r d i n a r y I n t e r p o l a t i o n 2 . 5 C o m p l e x N u m b e r s 2 . 6 E i g e n v a l u e s a n d E i g e n v e c t o r s 2 . 7 C h o l e s k y F a c t o r i z a t i o n 2 . 8 M i n i m i z i n g a Q u a d r a t i c P o l y n o m i a l 2 . 9 O r d i n a r y L e a s t S q u a r e s 2 . 1 0 C u b i c S p l i n e I n t e r p o l a t i o n 2 . 1 1 F i n i t e D i f f e r e n c e A p p r o x i m a t i o n s 2 . 1 2 N e w t o n ’ s M e t h o d 2 . 1 3 C h a n g e o f V a r i a b l e s F o r m u l a 2 . 1 4 N u m e r i c a l I n t e g r a t i o n : O n e D i m . 2 . 1 5 N u m e r i c a l I n t e g r a t i o n : M u l t i D i m . 2 . 1 6 F u r t h e r R e a d i n g 3 P r o b a b i l i t y 3 . 1 M o t i v a t i o n 3 . 2 P r e r e q u i s i t e s 3 . 3 P a r a m e t e r s 3 . 4 P a r a m e t e r s o f R a n d o m V e c t o r s 3 . 5 L i n e a r P o l y n o m i a l s o f R a n d o m V e c t o r s 3 . 6 P r o p e r t i e s o f C o v a r i a n c e M a t r i c e s 3 . 7 P r i n c i p a l C o m p o n e n t A n a l y s i s 3 . 8 B e r n o u l l i a n d B i n o m i a l D i s t r i b u t i o n s 3 . 9 U n i f o r m a n d R e l a t e d D i s t r i b u t i o n s 3 . 1 0 N o r m a l a n d R e l a t e d D i s t r i b u t i o n s 3 . 1 1 M i x t u r e s o f D i s t r i b u t i o n s 3 . 1 2 M o m e n t G e n e r a t i n g F u n c t i o n s 3 . 1 3 Q u a d r a t i c P o l y n o m i a l s o f J o i n t N o r m a l R a n d o m V e c t o r s 3 . 1 4 T h e C o r n i s h F i s h e r E x p a n s i o n 3 . 1 5 C e n t r a l L i m i t T h e o r e m 3 . 1 6 T h e I n v e r s i o n T h e o r e m 3 . 1 7 Q u a n t i l e s o f Q u a d r a t i c P o l y n o m i a l s o f J o i n t N o r m a l R a n d o m V e c t o r s 3 . 1 8 F u r t h e r R e a d i n g 4 S t a t i s t i c s a n d T i m e S e r i e s 4 . 1 M o t i v a t i o n 4 . 2 F r o m P r o b a b i l i t y t o S t a t i s t i c s 4 . 3 E s t i m a t i o n 4 . 4 M a x i m u m L i k e l i h o o d E s t i m a t o r s 4 . 5 H y p o t h e s i s T e s t i n g 4 . 6 S t o c h a s t i c P r o c e s s e s 4 . 7 T e s t i n g f o r A u t o c o r r e l a t i o n s 4 . 8 W h i t e N o i s e , M o v i n g A v e r a g e a n d A u t o r e g r e s s i v e P r o c e s s e s 4 . 9 G A R C H P r o c e s s e s 4 . 1 0 R e g i m e S w i t c h i n g P r o c e s s e s 4 . 1 1 F u r t h e r R e a d i n g 5 M o n t e C a r l o M e t h o d 5 . 1 M o t i v a t i o n 5 . 2 T h e M o n t e C a r l o M e t h o d 5 . 3 R e a l i z a t i o n s o f S a m p l e s 5 . 4 P s e u d o r a n d o m N u m b e r s 5 . 5 T e s t i n g P s e u d o r a n d o m N u m b e r G e n e r a t o r s 5 . 6 I m p l e m e n t i n g P s e u d o r a n d o m N u m b e r G e n e r a t o r s 5 . 7 B r e a k i n g t h e C u r s e o f D i m e n s i o n a l i t y 5 . 8 P s e u d o r a n d o m V a r i a t e s 5 . 9 V a r i a n c e R e d u c t i o n 5 . 1 0 F u r t h e r R e a d i n g 6 H i s t o r i c a l M a r k e t D a t a 6 . 1 M o t i v a t i o n 6 . 2 F o r m s o f H i s t o r i c a l M a r k e t D a t a 6 . 3 N o n s y n c h r o n o u s D a t a 6 . 4 D a t a E r r o r s 6 . 5 D a t a B i a s e s 6 . 6 F u t u r e s P r i c e s 6 . 7 I m p l i e d V o l a t i l i t i e s 6 . 8 F u r t h e r R e a d i n g 7 I n f e r e n c e 7 . 1 M o t i v a t i o n 7 . 2 S e l e c t i n g K e y F a c t o r s 7 . 3 C u r r e n t P r a c t i c e 7 . 4 U n c o n d i t i o n a l L e p t o k u r t o s i s a n d C o n d i t i o n a l H e t e r o s k e d a s t i c i t y 7 . 5 F u r t h e r R e a d i n g 8 P r i m a r y P o r t f o l i o M a p p i n g s 8 . 1 M o t i v a t i o n 8 . 2 D a y C o u n t s 8 . 3 P r i m a r y M a p p i n g s 8 . 4 E x a m p l e : E q u i t i e s 8 . 5 E x a m p l e : F o r w a r d s 8 . 6 E x a m p l e : O p t i o n s 8 . 7 P h y s i c a l C o m m o d i t i e s 8 . 8 F u r t h e r R e a d i n g 9 P o r t f o l i o R e m a p p i n g s 9 . 1 M o t i v a t i o n 9 . 2 H o l d i n g s R e m a p p i n g s 9 . 3 F u n c t i o n R e m a p p i n g s 9 . 4 V a r i a b l e s R e m a p p i n g s 9 . 5 F u r t h e r R e a d i n g 1 0 T r a n s f o r m a t i o n P r o c e d u r e s 1 0 . 1 M o t i v a t i o n 1 0 . 2 L i n e a r T r a n s f o r m a t i o n P r o c e d u r e s 1 0 . 3 Q u a d r a t i c T r a n s f o r m a t i o n P r o c e d u r e s 1 0 . 4 M o n t e C a r l o T r a n s f o r m a t i o n P r o c e d u r e s 1 0 . 5 V a r i a n c e R e d u c t i o n 1 0 . 6 F u r t h e r R e a d i n g 1 1 H i s t o r i c a l S i m u l a t i o n 1 1 . 1 M o t i v a t i o n 1 1 . 2 G e n e r a t i n g R e a l i z a t i o n s D i r e c t l y F r o m H i s t o r i c a l M a r k e t D a t a 1 1 . 3 C a l c u l a t i n g V a l u e a t R i s k W i t h H i s t o r i c a l S i m u l a t i o n 1 1 . 4 O r i g i n s o f H i s t o r i c a l S i m u l a t i o n 1 1 . 5 F l a w e d A r g u m e n t s f o r H i s t o r i c a l S i m u l a t i o n 1 1 . 6 S h o r t c o m i n g s o f H i s t o r i c a l S i m u l a t i o n 1 1 . 7 F u r t h e r R e a d i n g 1 2 I m p l e m e n t i n g V a l u e a t R i s k 1 2 . 1 M o t i v a t i o n 1 2 . 2 P r e l i m i n a r i e s 1 2 . 3 P u r p o s e 1 2 . 4 F u n c t i o n a l R e q u i r e m e n t s 1 2 . 5 B u i l d v s . B u y 1 2 . 6 I m p l e m e n t a t i o n 1 2 . 7 F u r t h e r R e a d i n g 1 3 M o d e l R i s k , T e s t i n g a n d V a l i d a t i o n 1 3 . 1 M o t i v a t i o n 1 3 . 2 M o d e l R i s k 1 3 . 3 M a n a g i n g M o d e l R i s k 1 3 . 4 F u r t h e r R e a d i n g 1 4 B a c k t e s t i n g 1 4 . 1 M o t i v a t i o n 1 4 . 2 B a c k t e s t i n g 1 4 . 3 B a c k t e s t i n g W i t h C o v e r a g e T e s t s 1 4 . 4 B a c k t e s t i n g W i t h D i s t r i b u t i o n T e s t s 1 4 . 5 B a c k t e s t i n g W i t h I n d e p e n d e n c e T e s t s 1 4 . 6 E x a m p l e : B a c k t e s t i n g a O n e D a y 9 5 % E U R V a l u e a t R i s k M e a s u r e 1 4 . 7 B a c k t e s t i n g S t r a t e g y 1 4 . 8 F u r t h e r R e a d i n g B a c k M a t t e r E n d n o t e s R e f e r e n c e s S t a n d a r d N o r m a l T a b l e R e s o u r c e s E x e r c i s e s o l u t i o n s N o t a t i o n H o w t o c i t e A u t h o r s b l o g V a l u e a t R i s k : T h e o r y a n d P r a c t i c e , S e c o n d E d i t i o n – b y G l y n A . H o l t o n P r o u d l y p o w e r e d b y W o r d P r e s s

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